Ťahák – Mocniny a odmocniny

Všetky pravidlá na jednom mieste. Vytlačíte ho cez tlač v prehliadači (Ctrl+P).

Druhá mocnina

Druhá mocnina = číslo vynásobené samo sebou (nie krát dva!).

72=7·7=49

V zápise 7² je 7 základ a 2 exponent (mocniteľ) – hovorí, koľkokrát základ násobíme.

Druhé mocniny čísel 1–10 treba vedieť naspamäť:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

Mocniny čísel 11–20 si na Testovaní 9 môžeš overiť na kalkulačke – oplatí sa ich však poznať aj spamäti:

112=121	162=256
122=144	172=289
132=169	182=324
142=196	192=361
152=225	202=400

Písomné umocňovanie

Číslo napíšeme dvakrát pod seba a násobíme. Každý ďalší medzivýsledok posunieme o jedno miesto doľava.

472=47 · 47=2209

			4	7
·			4	7
		3	2	9
	1	8	8
	2	2	0	9

Desatinné číslo násobíme, akoby čiarka nebola, a vo výsledku oddelíme dvakrát viac desatinných miest:

2,32→23 · 23=529→2,32=5,29

Druhá odmocnina

Opačná operácia k druhej mocnine: hľadáme nezáporné číslo, ktoré na druhú dá číslo pod odmocninou.

49=7pretože72=49

Odmocnina zo záporného čísla neexistuje (žiadne číslo na druhú nie je záporné).

(9)2=9 92=9

Čísla s nulami

Umocníme číslo bez núl a núl pripíšeme dvakrát toľko.

3002=32·1002=9·10 000=90 000

Pri odmocnine zostane z každej dvojice núl jedna.

1600=16·100=4·10=40

Pozor: √1000 ani √40 „pekne“ nevyjdú – nepárny počet núl.

Desatinné čísla

Po umocnení je desatinných miest dvakrát viac, po odmocnení polovica.

0,32=0,09 0,052=0,0025 1,22=1,44

0,09=0,3 0,0016=0,04 2,25=1,5

Číslo medzi 0 a 1 sa umocnením zmenší a odmocnením zväčší.

Zlomky

Umocníme (odmocníme) čitateľa aj menovateľa.

(2/3)2=22/32=4/9 9/16=9/16=3/4

Zmiešané číslo najprv prevedieme na zlomok:

21/4=9/4=3/2

Znamienka a zátvorky

So zátvorkou sa umocňuje aj znamienko, bez zátvorky len číslo.

(−3)2=(−3)·(−3)=9

−32=−(3·3)=−9

Druhá mocnina nikdy nie je záporná; druhé mocniny opačných čísel sú rovnaké.

Súčin a podiel – pravidlo platí

4·25=4·25=2·5=10

(3·10)2=32·102=900

2·8=16=4

Súčet a rozdiel – pravidlo NEPLATÍ

9+16=25=5 ale 9+16=7

(3+4)2=49 ale 32+42=25

Najprv vypočítame, čo je pod odmocninou alebo v zátvorke.

Poradie operácií

1. zátvorky (vnútri rovnaké pravidlá) → 2. mocniny a odmocniny → 3. násobenie a delenie → 4. sčítanie a odčítanie.

3+2·42−81=3+2·16−9=26

Štvorec

obsah S =a2 strana a =S obvod o = 4 · a

Štvorec s obsahom 144 cm² má stranu 12 cm a obvod 48 cm.

Rozšírenie: vyššie mocniny

25=2 · 2 · 2 · 2 · 2=32 50=1 51=5

am·an=am + n am:an=am − n (am)n=am · n

2,5·104=25 000 (čiarka o 4 miesta doprava)

Najčastejšie chyby

✗ 7² = 14 (násobenie dvoma namiesto samým sebou).

✗ −3² = 9 (správne −9; kladné je len (−3)²).

✗ √(9 + 16) = 3 + 4 (správne √25 = 5).

✗ 0,3² = 0,9 (správne 0,09 – dve desatinné miesta).

✗ √0,4 = 0,2 (0,2² = 0,04; √0,4 pekne nevyjde).

✗ Umocnenie zmiešaného čísla po častiach.